Kugelfunktionen

Kugelfunktionen,

 

Kugelflächenfunktionen, die Funktionen

 

auf der Einheitskugel. Dabei sind ϑ und ϕ der Polwinkel und das Azimut eines in Polarkoordinaten angegebenen Punktes auf der Kugel, l = 0, 1, 2,. .. eine natürliche Zahl und m eine ganze Zahl mit —l ≦ m ≦ l; P_l^|m| (cos ϑ) ist ein zugeordnetes legendresches Polynom (legendresche Funktionen). Die Kugelfunktionen bilden ein vollständiges, orthonormiertes Funktionensystem, nach dem sich jede Funktion auf der Einheitskugel entwickeln lässt. Sie sind in physikalischen und technischen Anwendungen wichtig, bei denen die räumliche Orientierung von Feldgrößen untersucht und beschrieben wird (Multipolentwicklung). Insbesondere sind die Kugelfunktionen auch die Eigenfunktionen des Quadrats sowie der z-Komponente des quantenmechanischen Drehimpulses (L): L²Y_lm = l (l + 1) h̶²Y_lm und L_zY_lm = mh̶Y_lm. In der Atomphysik geben die Absolutquadrate der Kugelfunktionen (beziehungsweise von Linearkombinationen aus ihnen) die Orientierung der Elektronenverteilung der Elektronenhülle der Atome an. - In der Literatur werden weder Bezeichnung und Notation noch Phase und Normierung der Kugelfunktionen einheitlich gehandhabt.